关于太阳日出方位角的探究
高中地理课常常讲到一天中太阳视运动，例如北半球夏季太阳日出东北，日落西北。但是究竟其中具体的模型推导式是什么，高中课本为了减轻学习者的负担，将其省略掉了。或者更为具体一点的表述是，例：夏至日（6月22日），北纬40度的地区，太阳升起方向为东偏北多少度？此时该处当天的白天、夜晚各占多长时间？在进行相关习题训练时，由于出题者水平的限制，我们常常在此处可能发现题目的错误（当然不会发现哈，只会感到迷惑，题与题之间，甚至题目中经常出现自相矛盾的点）。笔者高三时期做到过这方面的一道习题（显然我在这里写它一定是出错了，可惜题目找不到了），产生了疑问。
但是就搜索引擎反馈的结果，所有人似乎都只是在重复着高中课本里的话，并未见到有完整的模型和分析推导。在此处特别感谢知乎答主漠风，他站在高等数学的角度完美地解决了这个问题。但是美中不足的是，他回答中的矩阵模型并不适合普通高中学生理解。笔者在漠风回答的基础上，利用普通高中空间直角坐标系建立模型，更加利于解决高中学生的困惑。另外，由于笔者思路与漠风基本相同，该文章中大量引用其文章的部分，再次致以诚挚的谢意。
注：以下过程完全为笔者及漠风思考结果，所以其中变量均为自定义名称，如在专业的地理学中对同一概念有明确的称呼，请不必为一个概念的不同叫法出警~当然，如果是概念性的问题，欢迎批评斧正。
一切的根源，还是源自地轴并非垂直于黄道面，和黄道面有着大约66.5°的夹角（即黄赤交角23.5°），并且地轴的方向在宇宙空间看来认为是不变的。下图展示了一年中四个特殊的时刻地球和太阳的相对位置关系。
地球公转
为更好的说明，首先以夏至日为例，地点取为漠风所在的Ann Arbor, Michigan (北纬42.3103°）
夏至地球和太阳光位置关系
简单复述一下大家应该都知道的内容，夏至日当天，太阳直射北回归线，在北纬66.5°以北地区出现极昼现象，在南纬66.5°以南地区出现极夜现象，在纬度为X (北纬为正，南纬为负）的地区当天中午12时的太阳高度角为 max{(90−|X−23.5|),0}关于日照时间，赤道地区一年四季均为大约12个小时，而其他纬度地区的日照时长则随着位置的变化而变化。
首先关注日照时间的变化，将夏至这一天的太阳光、晨昏面以及各个纬度圈之间的关系简易以下图示之：
如上图所示，在这一天，晨昏面与北极圈相切，从北往南与各纬度圈依次相交，且将纬度圈愈来愈平分（即白天越来越短），直到在赤道上昼夜等长。在此过程中，易得各纬度圈的圆心到晨昏面的距离和该圆心到地球球心的距离成线性关系。
取赤道和北极圈之间纬度为x°处一纬度圈，画出该处纬度圈和被晨昏面所截情况如下图：
其中C为圆心，A、B为该纬度圈和晨昏面的交点。
接下来是重点，知道了某一纬度圈上的日出点（即上面示意图中的B点），怎么求得在这一点看到的太阳的方位角呢？
首先，需要意识到，我们日常生活中的东南西北，实际上从地球的尺度来看，是地球在所在位置点的球切面，并且在切面内，东西方向沿当地纬度方向（也即当地纬度圈在该点的切线），南北方向为在该球切面内的垂直于东西方向的方向。
直接求解一时似乎难以下手，能否找到某一处的球切面，使得太阳升起方向有一个简单直接的表示，然后再通过坐标变换求得太阳升起方向在其他各点的表示，进而获得当地的太阳升起方向呢？
下面对这种坐标系旋转方法做出解释：
我们知道地球相对来说体积巨大，所以单纯讨论太阳日出方位可以从所处地区出发，将地球视作平面，这个平面事实上即为该点的球切面。而我们又知道太阳光线可视为一束平行光线，故太阳日出时，太阳光线与晨线上各点的球切面是平行或重合的。我们通过太阳直射纬度可以轻松求得赤道上的太阳日出方位角，我们将其视为固定的向量，通过坐标系的旋转，旋转至与需求地点的坐标系相同，求出先前向量在该坐标系中的表示方法，即可得出答案。具体情况如下图：
实际观测记录为57°，由于记录数据只取了整数位，因而实际误差应该更小，计算结果可以说已经相当准确了.
除了夏至这一天，对于一年中任意的其他一天，能否也通过计算得知当天某一纬度的日出方位角呢？答案当然是肯定的。事实上，以上的思路完全适用于任何一天，不同的只是当天太阳的赤纬（也即当天太阳直射点的纬度），由于地球绕太阳公转的轨道离心率很小，可以近似看成正圆，太阳的赤纬可以通过以下公式近似计算，其中N为该天的次序(如一月一日，N=1)：
综上，想要求出太阳日出方位角分三步
- 求出洗他值(原谅我不会打拉丁字母）
- 利用公式求出赤纬
- 利用以上两个值通过旋转坐标系求得答案